Resumos de Matemática do 9.º ano

1Números reais e intervalos

Os números reais juntam os racionais (que se escrevem como fração) e os irracionais (dízimas infinitas não periódicas, como √2 ou π).

√n é irracional quando n não é um quadrado perfeito (√2, √3, √50…). √9 = 3, √16 = 4.
Intervalos: [a, b] inclui os extremos; ]a, b[ exclui-os. ±∞ leva sempre parêntese aberto: ]4, +∞[.
Interseção (∩): parte comum. Reunião (∪): junta tudo.
Notação científica: a × 10ⁿ com 1 ≤ a < 10 (0,00042 = 4,2 × 10⁻⁴).
Potências: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a⁰ = 1 (a ≠ 0).

Exemplo: 7 < √50 < 8, porque 49 < 50 < 64.

Dica do Mochi: Desenha a reta real e pinta os intervalos com cores diferentes. A interseção é onde as cores se sobrepõem.

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Resolver é descobrir os valores que tornam a igualdade (ou a desigualdade) verdadeira.

Equação do 1.º grau: desembaraça de parênteses, junta termos com x num membro e números no outro.
Inequação: igual à equação, mas se multiplicares ou dividires por um número negativo, troca o sentido da desigualdade.
Equação do 2.º grau ax² + bx + c = 0: fórmula resolvente x = (−b ± √Δ) / 2a, com Δ = b² − 4ac.
Δ > 0: duas soluções; Δ = 0: uma solução; Δ < 0: nenhuma solução real.
Casos incompletos: x² = 9 → x = ±3; em x² − 2x = 0 põe-se x em evidência, x(x − 2) = 0, e um produto só é nulo se um dos fatores for nulo: as soluções são 0 e 2.
Sistemas: método de substituição (isola uma incógnita) ou de adição ordenada.

Exemplo: x² − 7x + 10 = 0 → Δ = 9 → x = (7 ± 3)/2 → soluções 2 e 5.

Dica do Mochi: No fim, substitui a solução na equação original. Se der certo, ganhaste!

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Uma função associa a cada valor de x um único valor de y.

Função afim: y = mx + b (m = declive, b = ordenada na origem). Se b = 0, é proporcionalidade direta (y = kx).
Declive entre dois pontos: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
Proporcionalidade inversa: x × y = k (constante), ou seja, y = k/x. O gráfico é um ramo de hipérbole.
Função quadrática y = ax²: parábola com vértice na origem; a > 0 concavidade para cima, a < 0 para baixo.
A imagem de 4 por f, escrita f(4), é o valor que a função faz corresponder a 4.

Exemplo: 4 trabalhadores × 6 dias = 24 → 8 trabalhadores demoram 24 ÷ 8 = 3 dias.

Dica do Mochi: Pergunta-te: «Se x duplica, y duplica (direta) ou fica metade (inversa)?»

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No 3.º ciclo, a geometria junta o Teorema de Pitágoras, a trigonometria e as medidas de sólidos.

Teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, hipotenusa² = cateto² + cateto².
Trigonometria (triângulo retângulo): as razões seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo comparam os comprimentos dos lados — seno com o cateto oposto e a hipotenusa, cosseno com o adjacente e a hipotenusa, tangente com os dois catetos.
Valores úteis: sen 30° e cos 60° valem ambos meio; tg 45° vale um.
Circunferência: ângulo ao centro = arco; ângulo inscrito = metade do arco.
Um polígono de n lados divide-se em (n − 2) triângulos a partir de um vértice, por isso os seus ângulos internos somam (n − 2) × 180° (num pentágono, 540°).
Volumes: prisma e cilindro = área da base × altura; pirâmide e cone = (1/3) × área da base × altura; esfera = (4/3) × π × r³.

Exemplo: Catetos 6 e 8 → hipotenusa √(36 + 64) = √100 = 10.

Dica do Mochi: Faz sempre um esquema e marca o ângulo, a hipotenusa e os catetos antes de escolher a fórmula.

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Probabilidades medem a «possibilidade» de algo acontecer; a estatística resume e compara dados.

Regra de Laplace: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis (resultados equiprováveis).
A probabilidade de qualquer acontecimento está entre 0 e 1, e a do acontecimento contrário obtém-se tirando-a a 1 (se P(A) = 0,2, o contrário tem 0,8).
Experiências compostas (duas moedas, dois dados): usa tabelas de dupla entrada ou diagramas de árvore.
Mediana: valor do meio dos dados ordenados (ou média dos dois do meio).
Quartis: Q1 e Q3 são as medianas das metades inferior e superior (se o número de dados for ímpar, a mediana entra nas duas metades); amplitude interquartil = Q3 − Q1.
Média: soma ÷ número de dados.

Exemplo: Dois dados: 36 resultados; soma 7 em 6 casos → P = 1/6.

Dica do Mochi: Antes de calcular a mediana, ordena SEMPRE os dados. É o erro mais comum!

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